Question

【题目】如图，已知点，点均在圆上，且，过点作的平行线分别交，于两点.

（1）求点的轨迹方程；

（2）过点的动直线与点的轨迹交于两点．问是否存在常数，使得点为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在常数符合题意，理由详见解析.

【解析】

（1）由平面几何的相关性质可得，则，即点的轨迹是以为焦点的椭圆，再求出椭圆的标准方程即可；

（2）当直线的斜率存在时，设，，，联立直线方程与椭圆方程，消元列出韦达定理，则代入计算可得的值，再计算斜率不存在时的值，即可得解；

解：（1）由，得，

由，得，所以.

由，知，

所以，即，

所以，

所以点的轨迹是以为焦点的椭圆.

这里，，所以，，

则点的轨迹方程为：.

（2）当直线与轴不垂直时，设，，，

联立得，

其判别式，

所以，，

，

所以当时，，

此时为定值.

当直线的斜率不存在时，.

综上，存在常数，使得为定值img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/11/26/22/0c62e4d8/SYS202011262207475451781454_DA/SYS202011262207475451781454_DA.037.png" width="22" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />.