【题目】如图,已知点,点
均在圆
上,且
,过点
作
的平行线分别交
,
于
两点.
(1)求点的轨迹方程;
(2)过点的动直线
与点
的轨迹交于
两点.问是否存在常数
,使得
点为定值?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在常数
符合题意,理由详见解析.
【解析】
(1)由平面几何的相关性质可得,则
,即点
的轨迹是以
为焦点的椭圆,再求出椭圆的标准方程即可;
(2)当直线的斜率存在时,设
,
,
,联立直线方程与椭圆方程,消元列出韦达定理,则
代入计算可得
的值,再计算斜率不存在时
的值,即可得解;
解:(1)由,得
,
由,得
,所以
.
由,知
,
所以,即
,
所以,
所以点的轨迹是以
为焦点的椭圆.
这里,
,所以
,
,
则点的轨迹方程为:
.
(2)当直线与
轴不垂直时,设
,
,
,
联立得
,
其判别式,
所以,
,
,
所以当时,
,
此时为定值.
当直线的斜率不存在时,
.
综上,存在常数,使得
为定值img src="http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2020/11/26/22/0c62e4d8/SYS202011262207475451781454_DA/SYS202011262207475451781454_DA.037.png" width="22" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知斜率为1的直线与椭圆
交于
,
两点,且线段
的中点为
,椭圆
的上顶点为
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线与椭圆
交于
两点,若直线
与
的斜率之和为2,证明:
过定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点为抛物线
的焦点,点
在抛物线
上,过点
的直线交抛物线
于
两点,线段
的中点为
,且满足
.
(1)若直线的斜率为1,求点
的坐标;
(2)若,求四边形
面积的最大值.
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【题目】甲和乙两个人计划周末参加志愿者活动,约定在周日早上8:00至8:30之间到某公交站搭乘公交车一起去,已知在这段时间内,共有班公交车到达该站,到站的时间分别为8:05,8:15,8:30,如果他们约定见车就搭乘,则甲和乙两个人恰好能搭乘同一班公交车去的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点
,
,
是椭圆
上的动点,且
面积的最大值为
.
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)若是椭圆
的左、右顶点,直线
与椭圆在点
处的切线交于点
,当点
在椭圆上运动时,求证:以
为直径的圆与直线
恒相切.
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【题目】如图,为坐标原点,椭圆
的左,右焦点分别为
,离心率为
,双曲线
的左,右焦点分别为
,
,离心率为
,已知
,
.
(1)求,
的方程;
(2)过作
的不垂直于
轴的弦
,
为弦
的中点,当直线
与
交于
,
两点时,求四边形
面积的最小值.
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【题目】已知椭圆:
的两个焦点为
,
,焦距为
,直线
:
与椭圆
相交于
,
两点,
为弦
的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线:
与椭圆
相交于不同的两点
,
,
,若
(
为坐标原点),求
的取值范围.
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