【题目】如图，已知点
，点
均在圆
上，且
，过点
作
的平行线分别交
，
于
两点.
（1）求点
的轨迹方程；
（2）过点
的动直线
与点的轨迹交于
两点．问是否存在常数
，使得
点为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
；（2）存在常数
符合题意，理由详见解析.
【解析】
（1）由平面几何的相关性质可得
，则
，即点
的轨迹是以
为焦点的椭圆，再求出椭圆的标准方程即可；
（2）当直线
的斜率存在时，设
，
，
，联立直线方程与椭圆方程，消元列出韦达定理，则
代入计算可得
的值，再计算斜率不存在时的值，即可得解；
解：（1）由
，得
，
由
，得
，所以
.
由
，知
，
所以
，即，
所以，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆.
这里
，
，所以
，
，
则点的轨迹方程为：.
（2）当直线与
轴不垂直时，设，，，
联立
得
，
其判别式
，
所以
，
，
，
所以当时，
，
此时
为定值.
当直线的斜率不存在时，.
综上，存在常数，使得
为定值img src="http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2020/11/26/22/0c62e4d8/SYS202011262207475451781454_DA/SYS202011262207475451781454_DA.037.png" width="22" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知斜率为1的直线
与椭圆
交于
，
两点，且线段
的中点为
，椭圆
的上顶点为
.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线
与椭圆交于
两点，若直线
与
的斜率之和为2，证明：
过定点.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知点
为抛物线
的焦点，点
在抛物线
上，过点
的直线交抛物线于
两点，线段
的中点为
，且满足
．
（1）若直线的斜率为1，求点的坐标；
（2）若
，求四边形
面积的最大值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】甲和乙两个人计划周末参加志愿者活动，约定在周日早上8:00至8:30之间到某公交站搭乘公交车一起去，已知在这段时间内，共有
班公交车到达该站，到站的时间分别为8:05，8:15，8:30，如果他们约定见车就搭乘，则甲和乙两个人恰好能搭乘同一班公交车去的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的左、右焦点
，
，
是椭圆
上的动点，且
面积的最大值为
.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若
是椭圆的左、右顶点，直线
与椭圆在点
处的切线交于点
，当点在椭圆上运动时，求证：以
为直径的圆与直线
恒相切.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，
为坐标原点，椭圆
的左，右焦点分别为
，离心率为
，双曲线
的左，右焦点分别为
，
，离心率为
，已知
，
．
（1）求
，
的方程；
（2）过
作的不垂直于
轴的弦
，
为弦的中点，当直线
与交于
，
两点时，求四边形
面积的最小值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
：
的两个焦点为
,
,焦距为
,直线
:
与椭圆相交于
,
两点,
为弦
的中点.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）若直线:
与椭圆相交于不同的两点
,
,
,若
（
为坐标原点）,求
的取值范围.
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