Question

【题目】已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于两点，线段的中点为，且满足．

（1）若直线的斜率为1，求点的坐标；

（2）若，求四边形面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】

(1)由得抛物线的方程为，设直线方程为，与抛物线方程联立可得到的纵坐标，从而得到点的坐标.
(2) 设直线方程为，与抛物线方程联立可得到，又，可得，则可求出的范围,然后用弦长公式求出的长，求出点到的距离，,然后再求最大值.

解（1）点是抛物线的焦点，则抛物线的方程为．

设直线方程为，，，

由，得，，，

由得

所以，，．

（2）设直线方程为．

，得，

从而．

由于为线段的中点，则，，即

又，则，从而

点在抛物线上，则，．

由于且，得，

又三点共线时，，所以．

又

点到的距离，

则，

记，则．

故在区间递减，递增，，此时

所以

四边形面积的最大值为．