【题目】如图,已知椭圆的一个顶点为
,离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭园C交于
,
两点,直线
与线
的斜率之积为
,证明:直线
过定点,并求
的面积
的最大值.
【答案】(1);(2)证明见解析,
的面积
的最大值
.
【解析】
(1)求出后可得椭圆的方程.
(2)设MN:y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),与椭圆方程联立化为(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,△>0.由kBMkBN
利用根与系数的关系代入化简可得:m2+2m﹣3=0,解得m.再求得|MN|,点B到直线MN的距离d,可得S△BMN,通过换元利用基本不等式的性质即可得出.
(1)因为一个顶点为,故
,又离心为
,故
即
,
所以,故椭圆方程为:
.
(2)若直线的斜率不存在,则设
,
此时,与题设条件矛盾,故直线
的斜率必存在.
设MN:y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立,化为(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,
△=16(4k2﹣m2+1)>0,
∴x1+x2,∴x1x2
.
∵kBMkBN
∴x1x2+k(m﹣1)(x1+x2)+(m﹣1)2=0,
∴k(m﹣1)
(m﹣1)2=0,
化为m2+2m﹣3=0,解得m=﹣3或m=1(舍去).
即直线过定点(0,﹣3)
∴|MN|
点B到直线MN的距离d.
∴S△BMNMNd
.
由m=﹣3,△>0,可知:k2﹣2>0,令t>0,
∴k2=t2+2,
∴S,当且仅当t
,即k=±
时,Smax
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费对年销售量(单位:t)的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究,发现年宣传费x(万元)和年销售量y(单位:t)具有线性相关关系,并对数据作了初步处理,得到下面的一些统计量的值.
(1)根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程;
(2)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为,根据(1)中的结果回答下列问题:
①当年宣传费为10万元时,年销售量及年利润的预报值是多少?
②估算该公司应该投入多少宣传费,才能使得年利润与年宣传费的比值最大.
附:回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
参考数据:.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,侧面
是等边三角形,且平面
平面
,
为
的中点,
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)直线上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】下列关于命题的说法错误的是( )
A. 命题“若,则
”的逆否命题为“若
,则
”
B. “”是“函数
在区间
上为增函数”的充分不必要条件
C. 命题“,使得
”的否定是“
,均有
”
D. “若为
的极值点,则
”的逆命题为真命题
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【题目】已知点为抛物线
的焦点,点
在抛物线
上,过点
的直线交抛物线
于
两点,线段
的中点为
,且满足
.
(1)若直线的斜率为1,求点
的坐标;
(2)若,求四边形
面积的最大值.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,焦距为
.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)若,求
的最大值;
(Ⅲ)设,直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点
共线,求k.
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【题目】甲和乙两个人计划周末参加志愿者活动,约定在周日早上8:00至8:30之间到某公交站搭乘公交车一起去,已知在这段时间内,共有班公交车到达该站,到站的时间分别为8:05,8:15,8:30,如果他们约定见车就搭乘,则甲和乙两个人恰好能搭乘同一班公交车去的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=81,a3+a5=14.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,若{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn<
.
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