【题目】已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)若函数在
上是单调递增函数,求实数
的取值范围.
【答案】(1)当时,
无极值;当
时,
有极小值为
,无极大值
(2)
【解析】
(1)根据解析式求得导函数,讨论
与
两种情况下导函数的符号,即可由单调性判断函数的极值.
(2)将的解析式代入可得
,并求得
,根据函数
在
上是单调递增函数可知
,分离参数并构造函数
,求得
,即可判断
在
上的单调性,进而由恒成立问题解法求得
的取值范围即可.
(1)函数.定义域为
,
则,
当时,
,所以
在
上单调递增,无极值.
当时,令
,解得
,
若,解得
;
若,解得
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
所以函数有极小值为
,无极大值.
综上,当时,
无极值;
当时,
有极小值为
,无极大值.
(2),
因为函数在
上单调递增,
所以,化简得
在
上恒成立,
令,
,
即在
上单调递减.
又,所以
.
综上.
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【题目】一个几何体的三视图如图所示,正视图为等腰直角三角形,俯视图中虚线平分矩形的面积,则该几何体的体积为_____,其外接球的表面积为______.
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【题目】如图,已知椭圆的一个顶点为
,离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭园C交于
,
两点,直线
与线
的斜率之积为
,证明:直线
过定点,并求
的面积
的最大值.
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【题目】某市环保部门为了让全市居民认识到冬天烧煤取暖对空气数值的影响,进而唤醒全市人民的环保节能意识。对该市取暖季烧煤天数
与空气
数值不合格的天数
进行统计分析,得出下表数据:
| 9 | 8 | 7 | 5 | 4 |
| 7 | 6 | 5 | 3 | 2 |
(1)以统计数据为依据,求出关于
的线性回归方程
;
(2)根据(1)求出的线性回归方程,预测该市烧煤取暖的天数为20时空气数值不合格的天数.
参考公式:,
.
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【题目】已知短轴长为2的椭圆,直线
的横、纵截距分别为
,且原点到直线
的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线经过椭圆的右焦点
且与椭圆
交于
两点,若椭圆
上存在一点
满足
,求直线
的方程.
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【题目】如图,已知点,点
均在圆
上,且
,过点
作
的平行线分别交
,
于
两点.
(1)求点的轨迹方程;
(2)过点的动直线
与点
的轨迹交于
两点.问是否存在常数
,使得
点为定值?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】大学先修课程,是在高中开设的具有大学水平的课程,旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练,为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年,共有250人参与学习先修课程.
(Ⅰ)这两年学校共培养出优等生150人,根据下图等高条形图,填写相应列联表,并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系?
优等生 | 非优等生 | 总计 | |
学习大学先修课程 | 250 | ||
没有学习大学先修课程 | |||
总计 | 150 |
(Ⅱ)某班有5名优等生,其中有2名参加了大学生先修课程的学习,在这5名优等生中任选3人进行测试,求这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
参考公式:,其中
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