【题目】已知椭圆的离心率为
,焦距为
.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)若,求
的最大值;
(Ⅲ)设,直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点
共线,求k.
【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
【解析】分析:(1)根据题干可得的方程组,求解
的值,代入可得椭圆方程;(2)设直线方程为
,联立,消
整理得
,利用根与系数关系及弦长公式表示出
,求其最值;(3)联立直线与椭圆方程,根据韦达定理写出两根关系,结合
三点共线,利用共线向量基本定理得出等量关系,可求斜率
.
详解:
(Ⅰ)由题意得,所以
,
又,所以
,所以
,
所以椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)设直线的方程为
,
由消去
可得
,
则,即
,
设,
,则
,
,
则,
易得当时,
,故
的最大值为
.
(Ⅲ)设,
,
,
,
则 ①,
②,
又,所以可设
,直线
的方程为
,
由消去
可得
,
则,即
,
又,代入①式可得
,所以
,
所以,同理可得
.
故,
,
因为三点共线,所以
,
将点的坐标代入化简可得
,即
.
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【题目】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
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【题目】在圆上任取一点
,过点
作
轴的垂线段,垂足为
,点
在直线
上,且
,当点
在圆上运动时.
(1)求点的轨迹
的方程,并指出轨迹
.
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
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【题目】已知圆M过C(1,-1),D(-1,1)两点,且圆心M在x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)设点P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.
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【题目】设直线l:y=2x+2,若l与椭圆 的交点为A,B,点P为椭圆上的动点,则使△PAB的面积为
的点P的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】在某海礁A处有一风暴中心,距离风暴中心A正东方向200km的B处有一艘轮船,正以北偏西a(a为锐角)角方向航行,速度为40km/h.已知距离风暴中心180km以内的水域受其影响.
(1)若轮船不被风暴影响,求角α的正切值的最大值?
(2)若轮船航行方向为北偏西45°,求轮船被风暴影响持续多少时间?
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