Question

【题目】设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆 的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为 的点P的个数为(　　)

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Answer 1

【答案】D

【解析】

由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，求出弦长AB，计算AB边上的高h，

设出P的坐标，由点P到直线y=2x+2的距离d=h，结合椭圆的方程，求出点P的个数来．

由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，

解得或，

则A（0，2），B（﹣1，0），

∴AB==，

∵△PAB的面积为﹣1，

∴AB边上的高为h==．

设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+=1，

P到直线y=2x+2的距离d==，

即2a﹣b=2﹣4或2a﹣b=﹣2；

联立得：①或②，

①中的b消去得：2a2﹣2（﹣2）a+5﹣4=0，

∵△=4（﹣2）2﹣4×2×（5﹣4）＞0，∴a有两个不相等的根，∴满足题意的P的坐标有2个；

由②消去b得：2a2+2a+1=0，

∵△=（2）2﹣4×2×1=0，∴a有两个相等的根，满足题意的P的坐标有1个．

综上，使△PAB面积为﹣1的点P的个数为3．

故选：D．