Question

【题目】动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）若点是上的动点，过点作抛物线：的两条切线，切点分别为，设点到直线的距离为，求的最小值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（I）设点，利用将表示为的形式，然后代入抛物线方程，化简后可求得轨迹的方程.（II）设点，利用导数求得切线的方程.对比后可求得直线的方程，再利用点到直线的距离公式求得的表达式，化简后利用基本不等式求得的最小值.

（1）设点，

则由，得

因为点在抛物线上，所以点的轨迹的方程为：

（2）设点，

由，得；所以

故的方程为

又点在直线上，所以

又，故，将其代入式

得即

同理得：

因为点均满足方程

所以的方程为即

于是，

令，则，

则

当且仅当即时取等号所以的最小值为