【题目】有如下3个命题;
①双曲线上任意一点
到两条渐近线的距离乘积是定值;
②双曲线的离心率分别是
,则
是定值;
③过抛物线的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是
,则直线
过定点;其中正确的命题有( )
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
【答案】A
【解析】
求得双曲线的渐近线方程,设出P(m,n),运用点到直线的距离公式,化简可得定值,即可判断①;
运用双曲线的离心率公式和基本量的关系,化简可得定值,可判断②;
可设A(s,),B(t,
),求得直线AB的斜率和st=﹣4p2,运用点斜式方程可得直线AB的方程,化简可得定点,即可判断③.
①双曲线(a>0,b>0)上任意一点P,设为(m,n),
两条渐近线方程为y=±x,可得两个距离的乘积为
=
,
由b2m2﹣a2n2=a2b2,可得两个距离乘积是定值;
②双曲线=1与
(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,
即有e12=,e22=
,可得
为定值1;
③过抛物线x2=2py(p>0)的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A,B,
可设A(s,),B(t,
),由OA⊥OB可得st+
=0,即有st=﹣4p2,
kAB==
,可得直线AB的方程为y﹣
=
(x﹣s),即为y=
x+2p,
则直线AB过定点(0,2p).
三个命题都正确.
故选:A.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.命题“x∈R,ex>0”的否定是“x∈R,ex>0”
B.命题“已知x,y∈R,若x+y≠3,则x≠2或y≠1”是真命题
C.“x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”“(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”
D.命题“若a=﹣1,则函数f(x)=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题
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【题目】动点在抛物线
上,过点
作
垂直于
轴,垂足为
,设
.
(Ⅰ)求点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)若点是
上的动点,过点
作抛物线
:
的两条切线,切点分别为
,设点
到直线
的距离为
,求
的最小值。
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【题目】甲乙两台机床同时生产一种零件,10天中,两台机床每天出的次品数分别如下图所示。
甲 | 0 | 1 | 0 | 2 | 2 | 0 | 3 | 1 | 2 | 4 |
乙 | 2 | 3 | 1 | 1 | 0 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 |
从数据上看, ________________机床的性能较好(填“甲”或者“乙”).
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【题目】已知焦点在轴上的椭圆
过点
,且离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线(
,
)与椭圆C交于两点A、B,点D满足
,经过点D及点
的直线的斜率为
,求证:
.
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