Question

【题目】已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，O为坐标原点，点在双曲线上．

（I）求双曲线C的方程．

（II）若斜率为1的直线l与双曲线交于P，Q两点，且=0，求直线l方程．

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】

（I）根据题干可得到双曲线的方程可设为3x2﹣y2=3a2，代入点M可得到a值；（II）设直线PQ的方程为y=x+m，联立此直线和双曲线方程，得到两根的和与乘积，由=0得x1x2+y1y2=0，代入韦达定理可得到结果.

（I）双曲线C的渐近线方程为，

∴，双曲线的方程可设为3x2﹣y2=3a2．

∵点M（，）在双曲线上，可解得a=2，∴双曲线C的方程为．

（II）设直线PQ的方程为y=x+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2），

将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，

可化为2x2﹣2mx﹣m2﹣12=0,

x1+x2=m，x1x2=，

由=0得x1x2+y1y2=0，把y1=x1+m，y2=x2+m代入上式可得2x1x2+m（x1+x2）+m2=0，∴，

化简得m2=12．直线方程或.