Question

【题目】已知圆M过C(1,-1),D(-1,1)两点，且圆心M在x+y-2=0上．

（1）求圆M的方程；

（2）设点P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆M的两条切线，A,B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（2）2．

【解析】

试题分析：（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，-1）、D（-1，1）且圆心M在直线x+y-2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；
（2）四边形PAMB的面积为S＝2，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．

试题解析：

(1) 设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，

根据题意得

解得a＝b＝1，r＝2.

故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.

(2) 由题知，四边形PA′MB′的面积为S＝S△PA′M＋S△PB′M＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|.

又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，

所以S＝2|PA′|.

而|PA′|＝.

即S＝2.

因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，

所以|PM|min＝，

所以四边形PA′MB′面积的最小值为S＝2＝2＝2.