Question

【题目】如图，在四棱锥中，侧面是等边三角形，且平面平面，为的中点，,，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）直线上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）（Ⅲ）存在点， ．

【解析】

（Ⅰ）取中点，结合三角形中位线和长度关系，可证得且，得到四边形为平行四边形，进而得到，根据线面平行判定定理可证得结论；

（Ⅱ）取中点，由面面垂直性质可知平面，由此可建立空间直角坐标系；分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值；

（Ⅲ）设，利用空间向量表示出，由线面平行可知与平面的法向量垂直，即，构造方程求得，从而得到结论.

（Ⅰ）取中点，连结

为中点， ，

又， 且

四边形为平行四边形

平面,平面

平面

（Ⅱ）取中点，连结，

为等边三角形

平面平面，平面平面 平面

， 四边形为平行四边形

如图建立空间直角坐标系，

则

，

设平面的一个法向量为

则，即，令，则，

显然，平面的一个法向量为，

所以.

二面角为锐角 二面角的余弦值为

（Ⅲ）直线上存在点，使得平面.理由如下：

设 ，

，

平面 平面时，

即，解得：

直线上存在点，使得平面，此时