【题目】已知函数,
.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)求函数的单调区间;
(3)判断函数的零点个数.
【答案】(1)(2)答案见解析(3)答案见解析
【解析】
(1)设曲线在点
,
处的切线的斜率为
,可求得
,
,利用直线的点斜式方程即可求得答案;
(2)由(Ⅰ)知,,分
时,
,
三类讨论,即可求得各种情况下的
的单调区间为;
(3)分与
两类讨论,即可判断函数
的零点个数.
(1),
,
设曲线在点
,
处的切线的斜率为
,
则,
又,
曲线
在点
,
处的切线方程为:
,即
;
(2)由(1)知,,
故当时,
,所以
在
上单调递增;
当时,
,
;
,
,
;
的递减区间为
,递增区间为
,
;
当时,同理可得
的递增区间为
,递减区间为
,
;
综上所述,时,
单调递增为
,无递减区间;
当时,
的递减区间为
,递增区间为
,
;
当时,
的递增区间为
,递减区间为
,
;
(3)当时,
恒成立,所以
无零点;
当时,由
,得:
,只有一个零点.
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【题目】函数有极值,且导函数
的极值点是
的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求关于
的函数关系式,并写出定义域;
(2)若,
这两个函数的所有极值之和不小于
,求实数
的取值范围.
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【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-
,0)、F2(
,0).点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点N的坐标为(3,2),点P的坐标为(m,n)(m≠3).过点M任作直线l与椭圆C相交于A、B两点,设直线AN、NP、BN的斜率分别为k1、k2、k3,若k1+k3=2k2,试求m,n满足的关系式.
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【题目】已知斜率为1的直线与椭圆
交于
,
两点,且线段
的中点为
,椭圆
的上顶点为
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线与椭圆
交于
两点,若直线
与
的斜率之和为2,证明:
过定点.
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【题目】在疫情防控过程中,某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下,第15天开始有患者治愈出院,并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始,每天出院的人数是前一天出院人数的2倍,那么第19天治愈出院患者的人数为_______________,第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.
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【题目】如图,在四棱锥中,侧面
是等边三角形,且平面
平面
,
为
的中点,
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)直线上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】盒内有大小相同的9个球,其中2个红色球,3个白色球,4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得-1分 . 现从盒内任取3个球
(Ⅰ)求取出的3个球中至少有一个红球的概率;
(Ⅱ)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率;
(Ⅲ)设为取出的3个球中白色球的个数,求
的分布列.
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【题目】已知点为抛物线
的焦点,点
在抛物线
上,过点
的直线交抛物线
于
两点,线段
的中点为
,且满足
.
(1)若直线的斜率为1,求点
的坐标;
(2)若,求四边形
面积的最大值.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点
,
,
是椭圆
上的动点,且
面积的最大值为
.
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)若是椭圆
的左、右顶点,直线
与椭圆在点
处的切线交于点
,当点
在椭圆上运动时,求证:以
为直径的圆与直线
恒相切.
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