Question

【题目】函数有极值，且导函数的极值点是的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；

（2）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）b＝（a＞3）；（2）（3，6]

【解析】

（1）求导得到g（x）＝f′（x）＝3x2+2ax+b，计算函数单调性，故f（﹣）＝0，计算得到b＝，再计算a＞3得到答案.

（2）f′（x）的极小值为f′（﹣）＝b﹣，设x1，x2是y＝f（x）的两个极值点，则x1+x2＝，x1x2＝，f（x1）+f（x2）＝﹣+2，得到所以b﹣+﹣+2≥﹣，解得答案.

（1）因为f（x）＝x3+ax2+bx+1，所以g（x）＝f′（x）＝3x2+2ax+b，

g′（x）＝6x+2a，令g′（x）＝0，解得x＝﹣．

由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）＝f′（x）单调递增；

当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）＝f′（x）单调递减；

所以f′（x）的极小值点为x＝﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，

所以f（﹣）＝0，即﹣﹣+1＝0，所以b＝（a＞0）．

因为f（x）＝x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）＝3x2+2ax+b＝0有实根，

所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣﹣＞0，解得a＞3，所以b＝（a＞3）．

（2）f′（x）的极小值为f′（﹣）＝b﹣，

设x1，x2是y＝f（x）的两个极值点，则x1+x2＝，x1x2＝，

所以f（x1）+f（x2）＝++a（+）+b（x1+x2）+2

＝（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2＝﹣+2，

又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，

所以b﹣+﹣+2＝﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，

所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，

由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．