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    【题目】已知函数，.

    （1）讨论函数的单调性；

    （2）当且时，求证：.

    【答案】（1）见解析；（2）见解析.

    【解析】

    （1）求得，然后分、、三种情况讨论，分析导数的符号变化，可得出函数的单调递增区间和递减区间；

    （2）将所证不等式变形为，设，利用导数分析出函数在区间上单调递增，由可证得结论.

    （1）由题意，得.

    ①若，令，得；令，得.

    故函数在上单调递减，在上单调递增；

    ②若，令，得；令，得.

    故函数在上单调递增，在上单调递减；

    ③若，则是常值函数，不存在单调性.

    综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

    当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

    当时，函数不存在单调性；

    （2）当时，，则即为.

    不等式两边同时除以，得，得.

    记函数，则.

    设.

    当时，，所以函数在上单调递增.

    所以当时，.

    所以，所以函数在上单调递增.

    所以，即.

    故得证.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：

    土地使用面积（单位：亩）

    1

    2

    3

    4

    5

    管理时间（单位：月）

    8

    10

    13

    25

    24

    并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:

    愿意参与管理

    不愿意参与管理

    男性村民

    150

    50

    女性村民

    50

    （1）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？

    （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？

    （3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望。

    参考公式：

    其中。临界值表：

    0.100

    0.050

    0.025

    0.010

    0.001

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    10.828

    参考数据：

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】独立性检验中,假设:运动员受伤与不做热身运动没有关系.在上述假设成立的情况下,计算得的观测值.下列结论正确的是（ ）

    附：

    0．10

    0.05

    0.010

    0.005

    2.706

    3.841

    6.635

    7.879

    A. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关

    B. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关

    C. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关

    D. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．

    （1）设是曲线上的一个动点，若点到直线的距离的最大值为，求的值；

    （2）若曲线上任意一点都满足，求的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】设函数.

    （1）试讨论函数的单调性；

    （2）设，记，当时，若方程有两个不相等的实根， ，证明.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.

    题号

    分组

    频数

    频率

    第1组

    0.100

    第2组

    ①

    第3组

    20

    ②

    第4组

    20

    0.200

    第5组

    10

    0.100

    第6组

    100

    1.00

    （1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成如下的频率分布直方图；

    （2）组委会决定在5名（其中第3组2名，第4组2名，第5组1名）选手中随机抽取2名选接受考官进行面试，求第4组至少有1名选手被考官面试的概率.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】设函数.

    （1）试讨论函数的单调性；

    （2）如果且关于的方程有两解， （），证明.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是

    A. 的一个周期为 B.

    C. 是图象的一条对称轴 D. 是偶函数

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】对方格表中的小方格进行染色．使得每个被染色的小方格满足：与其相邻的小方格中最多只有一个被染色，其中两个小方格相邻是指它们有一条公共边．问：最多可以给多少个小方格染色?

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