【题目】如图所示的几何体中,垂直于梯形所在的平面,为的中点,,四边形为矩形,线段交于点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)在线段上是否存在一点,使得与平面所成角的大小为?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)(3)在线段上存在一点满足题意,且
【解析】
(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论;
(2)建立空间直角坐标系,利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值,然后利用同角三角函数基本关系可得二面角的正弦值;
(3)假设点Q存在,利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q的存在性和位置.
(1)因为四边形为矩形,所以为的中点.连接,
在中,分别为的中点,所以,
因为平面,平面,
所以平面.
(2)易知两两垂直,如图以为原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系.
则,所以.
设平面的法向量为,
则即解得
令,得
所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为,
,据此可得 ,
则平面的一个法向量为,
,于是.
故二面角的正弦值为.
(3)设存在点满足条件.
由,
设,整理得,
则.
因为直线与平面所成角的大小为,
所以
解得,
由知,即点与重合.
故在线段上存在一点,且.
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【题目】教材中指出:当很小,不太大时,可以用表示的近似值,即 (1),我们把近似值与实际值之差除以实际值的商的绝对值称为“相对近似误差”,一般用字母表示,即相对近似误差
(1)利用(1)求出的近似值,并指出其相对近似误差(相对近似误差保留两位有效数字)
(2)若利用(1)式计算的近似值产生的相对近似误差不超过,求正实数的取值范围;
(3)若利用(1)式计算的近似值产生的相对近似误差不超过,求正整数的最大值。(参考对数数值:)
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【题目】朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为( )
A. 9B. 16C. 18D. 20
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【题目】如图,由半圆和部分抛物线合成的曲线称为“羽毛球开线”,曲线与轴有两个焦点,且经过点
(1)求的值;
(2)设为曲线上的动点,求的最小值;
(3)过且斜率为的直线与“羽毛球形线”相交于点三点,问是否存在实数使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
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【题目】甲袋中装有3个白球和5个黑球,乙袋中装有4个白球和6个黑球,现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中,充分混合后,再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中,则甲袋中白球没有减少的概率为____.
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【题目】若函数在定义域内存在实数x,满足,则称为“局部奇函数”.
已知函数,试判断是否为“局部奇函数”?并说明理由;
设是定义在上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围;
若为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.
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【题目】对 n N ,设抛物线 y2 2(2n 1) x ,过 P 2n, 0 任作直线 l 与抛物线交与 An, Bn两点,则数列的前 n 项和为_____;
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