Question

【题目】教材中指出：当很小，不太大时，可以用表示的近似值，即 （1），我们把近似值与实际值之差除以实际值的商的绝对值称为“相对近似误差”，一般用字母表示，即相对近似误差

（1）利用（1）求出的近似值，并指出其相对近似误差（相对近似误差保留两位有效数字）

（2）若利用（1）式计算的近似值产生的相对近似误差不超过，求正实数的取值范围；

（3）若利用（1）式计算的近似值产生的相对近似误差不超过，求正整数的最大值。(参考对数数值:)

Answer 1

【答案】（1）;（2）（3）

【解析】

（1）根据题意可求得近似值,由相对近似误差即可求得的值,并保留两位有效数字.

（2）根据题意,利用换元法可得关于的不等式组,解不等式即可求得正实数的取值范围;

（3）根据定义可得关于的不等式,通过取对数化简,代入参考值即可求得正整数的最大值.

（1）由题意可知, 当很小,不太大时,可以用表示的近似值,即

所以近似值为

相对近似误差

所以

（2）令,则

由定义可知

由相对近似误差可知

所以

化简可得

所以,即

所以,

解不等式组可得

（3）由定义可知

由相对近似误差可知

所以

化简可得

等式两边同取对数可得

当时,不等式左边等于,等式右边等于,不等式成立

当时,不等式左边等于,等式右边等于,不等式不成立

综上可知, 正整数的最大值为