Question

【题目】已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于A，B两点，且点A的坐标为，点Р是椭圆上异于A，B的任意一点，点Q满足，，且A，B，Q三点不共线．

（1）求椭圆的方程；

（2）求点Q的轨迹方程．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）Q的轨迹方程为，除去

【解析】

（1）求出椭圆的焦点，利用椭圆的定义，可得椭圆的方程;
（2）设，由题意，，

利用点Q满足，结合点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，求点Q的轨迹方程.

解：（1）双曲线的顶点为，
∴椭圆的焦点为，
∵椭圆过，
，
，
，
∴椭圆的方程为；
（2）设
由题意，，
，

，
由，可得，
，可得，
两式相乘，可得，
点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，

，
，
时，；
时，则或，

或，满足，
P与A重合时，，
代入可得或；
同理P与B重合时，或；
∴点Q的轨迹方程为，除去.