Question

【题目】若函数在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．

已知函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；

设是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；

若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）是“局部奇函数”；（2） ；（3）.

【解析】

运用两角和与差的正弦公式，化简，再由由局部奇函数的定义，即可判断；

根据局部奇函数的定义，可得方程在上有解，运用换元法，令，则，求出右边的值域即可；

根据“局部奇函数”的定义可知，有解即可设，则，即有方程等价为在时有解，设，由对称轴和区间的关系，列出不等式，解出即可．

解：由于，，

则，由于，则，

当时，成立，由局部奇函数的定义，可知该函数为“局部奇函数”；

根据局部奇函数的定义，时，可化为，

因为的定义域为，所以方程在上有解，

令，则，

设，则，

当时，，故在上为减函数，

当时，，故在上为增函数，

所以时，所以，

即．

根据“局部奇函数”的定义可知，函数有解即可，

即，

，

即有解即可．

设，则，

方程等价为在时有解，

设，

对称轴，

若，则，

即，

，此时，

若，要使在时有解，

则，即，

解得，

综上得，