[题目]某单位为促进职工业务技能提升.对该单位120名职工进行一次业务技能测试.测试项目共5项.现从中随机抽取了10名职工的测试结果.将它们编号后得到它们的统计结果如下表(表1)所示(“√ 表示测试合格.“× 表示测试不合格).表1:编号\测试项目123451×√√√√2√√√√×3√√√√×4√√√××5√√√√√6√××√×7×√√√×8√×××� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】某单位为促进职工业务技能提升，对该单位120名职工进行一次业务技能测试，测试项目共5项.现从中随机抽取了10名职工的测试结果，将它们编号后得到它们的统计结果如下表（表1）所示（“√”表示测试合格，“×”表示测试不合格）.

表1：

编号\测试项目	1	2	3	4	5
1	×	√	√	√	√
2	√	√	√	√	×
3	√	√	√	√	×
4	√	√	√	×	×
5	√	√	√	√	√
6	√	×	×	√	×
7	×	√	√	√	×
8	√	×	×	×	×
9	√	√	×	×	×
10	√	√	√	√	×

规定：每项测试合格得5分，不合格得0分.

（1）以抽取的这10名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率.

①设抽取的这10名职工中，每名职工测试合格的项数为，根据上面的测试结果统计表，列出的分布列，并估计这120名职工的平均得分；

②假设各名职工的各项测试结果相互独立，某科室有5名职工，求这5名职工中至少有4人得分不少于20分的概率；

（2）已知在测试中，测试难度的计算公式为，其中为第项测试难度，为第项合格的人数，为参加测试的总人数.已知抽取的这10名职工每项测试合格人数及相应的实测难度如下表（表2）：

表2：

测试项目	1	2	3	4	5
实测合格人数	8	8	7	7	2

定义统计量，其中为第项的实测难度，为第项的预测难度（）.规定：若，则称该次测试的难度预测合理，否则为不合理，测试前，预估了每个预测项目的难度，如下表（表3）所示：

表3：

测试项目	1	2	3	4	5
预测前预估难度	0.9	0.8	0.7	0.6	0.4

判断本次测试的难度预估是否合理.

【答案】（1）①分布列见解析，平均得分为；②；（2）合理.

【解析】

（1）①可取，由表格中数据，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望，由的值可得平均分；②由①知，由互斥事件的概率公式以及独立事件的概率公式可得结果；（2）直接利用方差公式求出方差，与比较大小即可得结果.

（1）①根据上面的测试结果统计表，得的分布列为：

	0	1	2	3	4	5
	0	0.1	0.2	0.2	0.4	0.1

所以的数学期望.

所以估计这12名职工的平均得分为.

②“得分不小于20分”即“”，

由①知.

设该科室5名职工中得分不小于20分的人数为，则.

所以，

即这5名职工中至少有4人得分不小于20分的概率为.

（2）由题意知

该次测试的难度预估是合理的.

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