练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    【题目】定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆．

    （1）若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；

    （2）写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围．

    【答案】(1)相似;相似比为;(2);.

    【解析】

    (1)分别求出两个椭圆的特征三角形的腰长和底边长2,进而求出两个椭圆的相似比;

    (2)由题意易得与椭圆与椭圆的相似比为1:,进而可求得椭圆得长半轴长,即可得椭圆的方程为;设直线方程为,联立直线方程和椭圆的方程消元化简，借助于与的交点关于对称和根的判别式大于零,可求得的取值范围.

    (1)由题意知:椭圆的特征三角形是腰长为=2,底边长2=2的等腰三角形; 椭圆的特征三角形是腰长为=4,底边长2=4的等腰三角形,则由,得两个三角形相似,所以可得椭圆与椭圆相似,且相似比为;

    (2)由椭圆和椭圆相似,且短半轴长分别为1和,可得相似比为1:,则可得椭圆的长半轴长为2,所以椭圆的方程为:;

    由题意设直线为,点M,N,中点坐标为(),

    联立消元化简得:

    ∴∴,, ∴中点坐标为(,)

    由中点在直线上,可得=+1,解得=,

    由直线与椭圆有两个不同的交点得,

    代入=解得.

    故实数的取值范围为

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还升， 升， 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )

    A. ， ， 依次成公比为2的等比数列，且

    B. ， ， 依次成公比为2的等比数列，且

    C. ， ， 依次成公比为的等比数列，且

    D. ， ， 依次成公比为的等比数列，且

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某单位为促进职工业务技能提升，对该单位120名职工进行一次业务技能测试，测试项目共5项.现从中随机抽取了10名职工的测试结果，将它们编号后得到它们的统计结果如下表（表1）所示（“√”表示测试合格，“×”表示测试不合格）.

    表1：

    编号\测试项目

    1

    2

    3

    4

    5

    1

    ×

    √

    √

    √

    √

    2

    √

    √

    √

    √

    ×

    3

    √

    √

    √

    √

    ×

    4

    √

    √

    √

    ×

    ×

    5

    √

    √

    √

    √

    √

    6

    √

    ×

    ×

    √

    ×

    7

    ×

    √

    √

    √

    ×

    8

    √

    ×

    ×

    ×

    ×

    9

    √

    √

    ×

    ×

    ×

    10

    √

    √

    √

    √

    ×

    规定：每项测试合格得5分，不合格得0分.

    （1）以抽取的这10名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率.

    ①设抽取的这10名职工中，每名职工测试合格的项数为，根据上面的测试结果统计表，列出的分布列，并估计这120名职工的平均得分；

    ②假设各名职工的各项测试结果相互独立，某科室有5名职工，求这5名职工中至少有4人得分不少于20分的概率；

    （2）已知在测试中，测试难度的计算公式为，其中为第项测试难度，为第项合格的人数，为参加测试的总人数.已知抽取的这10名职工每项测试合格人数及相应的实测难度如下表（表2）：

    表2：

    测试项目

    1

    2

    3

    4

    5

    实测合格人数

    8

    8

    7

    7

    2

    定义统计量，其中为第项的实测难度，为第项的预测难度（）.规定：若，则称该次测试的难度预测合理，否则为不合理，测试前，预估了每个预测项目的难度，如下表（表3）所示：

    表3：

    测试项目

    1

    2

    3

    4

    5

    预测前预估难度

    0.9

    0.8

    0.7

    0.6

    0.4

    判断本次测试的难度预估是否合理.

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】平面上有个点，将每一个点染上红色或蓝色.从这个点中，任取个点，记个点颜色相同的所有不同取法总数为.

    （1）若，求的最小值；

    （2）若，求证：.

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】一布袋中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（ ）

    A. 若，则乙有必赢的策略B. 若，则甲有必赢的策略

    C. 若，则甲有必赢的策略D. 若，则乙有必赢的策略

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了年月至年月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是( )

    A. 月接待游客逐月增加

    B. 年接待游客量逐年减少

    C. 各年的月接待游客量高峰期大致在月

    D. 各年月至月的月接待游客量相对于月至月，波动性较小，变化比较稳定

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知与的夹角为，，，设，.

    （1）当时，求与的夹角大小；

    （2）是否存在实数，使得与的夹角为钝角，若存在求出的取值范围，若不存在，说明理由.

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面.

    （1）证明：平面平面；

    （2）若，为线段的中点，求三棱锥的体积.

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元.在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：

    维修次数

    8

    9

    10

    11

    12

    频数

    10

    20

    30

    30

    10

    记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的维修服务次数.

    （1）若=10，求y与x的函数解析式；

    （2）若要求“维修次数不大于”的频率不小于0.8，求n的最小值；

    （3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案