【题目】如图,在四棱锥中,底面
为正方形,
为等边三角形,平面
平面
.
(1)证明:平面平面
;
(2)若,
为线段
的中点,求三棱锥
的体积.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1) 取的中点
,连结
,根据面面垂直得到
平面
,所以
,再由
可得到线面垂直,进而得到面面垂直;(2)
平面
,所以
,
两点到平面
的距离相等,均为
,
为线段
的中点,所以
到平面
的距离
,再由公式得到体积.
证明:(1)取的中点
,连结
,
因为为等边三角形,
所以.
又因为平面
,平面
平面
,平面
平面
,
所以平面
.
因为平面
,
所以.
因为底面为正方形,
所以.
因为,
所以平面
,
又因为平面
,
所以平面平面
.
(2)由(1)得平面
,
所以到平面
的距离
.
因为底面为正方形,
所以.
又因为平面
,
平面
,
所以平面
.
所以,
两点到平面
的距离相等,均为
.
又为线段
的中点,
所以到平面
的距离
.
由(1)知,平面
,因为
平面
,所以
,
所以.
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【题目】定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆.
(1)若椭圆,判断
与
是否相似?如果相似,求出
与
的相似比;如果不相似,请说明理由;
(2)写出与椭圆相似且短半轴长为
的椭圆
的方程;若在椭圆
上存在两点
、
关于直线
对称,求实数
的取值范围.
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【题目】已知动圆过定点,且与定直线
相切,点
在
上.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)试过点且斜率为
的直线与曲线
相交于
两点。问:
能否为正三角形?
(3)过点作两条斜率存在且互相垂直的直线
,设
与轨迹
相交于
,
与轨迹
相交于点
,求
的最小值.
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【题目】对 n N ,设抛物线 y2 2(2n 1) x ,过 P 2n, 0 任作直线 l 与抛物线交与 An, Bn两点,则数列的前 n 项和为_____;
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【题目】如图,已知圆的方程为
,圆
的方程为
,若动圆
与圆
内切,与圆
外切.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹
的方程;
(Ⅱ)过直线上的点
作圆
的两条切线,设切点分别是
,
,若直线
与轨迹
交于
,
两点,求
的最小值.
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【题目】已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1和l2的距离是.
(1)求a的值.
(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是
?若能,求出P点坐标;若不能,请说明理由.
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【题目】已知椭圆(
)的左焦点为
,点
为椭圆
上任意一点,且
的最小值为
,离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,若动直线与椭圆
交于不同两点
、
(
、
都在
轴上方),且
.
(i)当为椭圆与
轴正半轴的交点时,求直线
的方程;
(ii)对于动直线,是否存在一个定点,无论
如何变化,直线
总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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