Question

【题目】已知动圆过定点，且与定直线相切，点在上.

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）试过点且斜率为的直线与曲线相交于两点。问：能否为正三角形？

（3）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于，与轨迹相交于点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1） （2）不能,理由见解析 （3）

【解析】

（1）根据题意可知动圆的圆心轨迹为抛物线,即可求得轨迹方程.

（2）写出直线方程,联立后可求得两点的坐标.设出点坐标,根据正三角形三条边相等,结合两点间距离公式,可利用两个方程分别解的纵坐标,如果两个方程的解相等就存在这样的正三角形,如果两个方程的解不相等就不存在.

（3）根据斜率存在,设出两条直线方程,联立抛物线后根据韦达定理可得交点横坐标的关系.将根据向量的加法运算化简,即可得,根据抛物线定义可转化为四个交点横坐标的表达式,将韦达定理表示的式子代入,即可得关于斜率的等式,再根据基本不等式即可求得最小值.

（1）因为动圆过定点，且与定直线相切

所以动圆圆心到定点与到定直线的距离相等

由抛物线定义可知,动圆圆心的轨迹是抛物线

该抛物线以为焦点,以为准线

所以动圆圆心的轨迹的方程为

（2）不能为正三角形.理由如下:

过点且斜率为的直线方程为

则整理化简可得

直线与曲线相交于两点.解方程组可得两点的坐标为

因为在上,所以设,且能为正三角形

则,即满足

当时,由两点间距离公式得

解方程可得

当时,由两点间距离公式得

解方程可得

因为两个方程的解不相同,所以不存在这样的C点,使为正三角形

即不能为正三角形.

（3）因为过点作的两条斜率存在的直线

设直线的斜率为,则的方程为,与轨迹相交于,设

由整理化简可得

则

因为直线互相垂直,则直线的斜率为,其方程可设为,与轨迹相交于点,设

由整理化简可得

则

所以

因为直线互相垂直

则

则

由抛物线定义可知

所以

由基本不等式可知

当且仅当,即时取等号.即的最小值为