Question

【题目】在直角坐标系中，圆经过伸缩变换后得到曲线．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程及直线的直角坐标方程；

（2）设点是上一动点，求点到直线的距离的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（Ⅰ）由经过伸缩变换，可得曲线的方程，由极坐标方程可得直线的直角坐标方程．

（Ⅱ）因为椭圆的参数方程为 （为参数），所以可设点，

由点到直线的距离公式，点到直线的距离为由三角函数性质可求点到直线的距离的最大值.

（Ⅰ）由经过伸缩变换，可得曲线的方程为，即，由极坐标方程可得直线的直角坐标方程为．

（Ⅱ）因为椭圆的参数方程为 （为参数），所以可设点，

由点到直线的距离公式，点到直线的距离为（其中，），由三角函数性质知，当时，点到直线的距离有最大值．