Question

【题目】椭圆： 的左右焦点分别为， ，左右顶点分别为， ， 为椭圆上的动点（不与， 重合），且直线与的斜率的乘积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过作两条互相垂直的直线与（均不与轴重合）分别与椭圆交于， ， ， 四点，线段、的中点分别为、，求证：直线过定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析， 经过定点为

【解析】试题分析：（1）根据题意，列出方程，求解的值，即可求得椭圆的方程；

（2）设直线： ，联立椭圆方程，求得的坐标，

由题设若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，得该定点一定是直线与的交点，进而求得直线过定点．

试题解析：

（1）设，由题，整理得，

，整理得，

结合，得， ，

所求椭圆方程为．

（2）设直线： ，联立椭圆方程，得，

得， ，

∴， ，

由题，若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，所以若直线经过定点，该定点一定是直线与的交点，该点必在轴上．

设该点为， ， ，

由，得，代入， 坐标化简得，

经过定点为．