Question

【题目】已知函数，．

（1）若函数在处取得极值，求实数的值；

（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（3）讨论函数的零点个数．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）详见解析.

【解析】

（1）求出函数的导数，由题意可得，即可得，注意检验；

（2）由条件可得，在区间上恒成立，运用参数分离，求得右边函数的范围，即可得到的范围；

（3）令，则，求出导数，结合图象对讨论，即可判断零点个数.

（1）因为函数在处取得极值，，

所以，即，解得，

经检验，当时，函数在处取得极小值．所以实数的值为．

（2）由（1）知，，．

因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立．

即在区间上恒成立．

易得当时，，所以．

故实数的取值范围为．

（3）因为，所以，．

令得，

令，，

则．

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减．

画出函数的草图，

易得，

并且图象无限靠近于原点，且当时，，

故当时，函数无零点；当或时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点．