Question

【题目】如图1，在边长为2的正方形ABCD中，P为CD中点，分别将△PAD, △PBC沿 PA,PB所在直线折叠，使点C与点D重合于点O，如图2．在三棱锥P-OAB中，E为 PB中点．

(Ⅰ)求证：PO⊥AB;

(II）求直线BP与平面POA所成角的正弦值；

(Ⅲ）求二面角P-AO-E的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）. （Ⅲ）.

【解析】试题分析：第一问利用几何体的特征可以得出相应的线线垂直，之后利用线面垂直的判定定理和性质得出所要的结果；第二问建立空间直角坐标系，利用空间向量求得线面角的正弦值；第三问利用面的法向量所成角的余弦值求得角的大小，最后确定出二面角的大小.

（Ⅰ）在正方形中， 为中点， , ，

所以在三棱锥中， ， .

因为，所以平面.

因为平面,所以.

（Ⅱ）取AB中点F，连接OF，取AO中点M，连接BM.

过点O作AB的平行线OG.

因为PO⊥平面OAB，所以PO⊥OF，PO⊥OG.

因为OA＝OB，F为AB的中点，

所以OF⊥AB. 所以OF⊥OG.

如图所示，建立空间直角坐标系O－xyz.

A，B，P，M(，，0)．

因为BO＝BA，M为OA的中点，所以BM⊥OA.

因为PO⊥平面OAB，PO平面POA，所以平面POA⊥平面OAB.

因为平面POA∩平面OAB＝OA，BM平面OAB，

所以BM⊥平面POA.

因为＝(，－，0)．所以平面POA的法向量m＝.

＝(1，－，1)．

设直线BP与平面POA所成角为α，

则.

所以直线BP与平面POA所成角的正弦值为.

（Ⅲ）由(Ⅱ)知， ， .

设平面的法向量为，则有

即

令，则， . 即.

所以.

由题知二面角P－AO－E为锐角，所以它的大小为.