【题目】已知函数(,).
(1)若在上单调递减,求的取值范围;
(2)当时,判断关于的方程的解的个数.
【答案】(1);(2)只有一个解.
【解析】试题分析:
(1)根据在恒成立求解即可,求解时可选用分离参数的方法.(2)由题意可得即判断方程根的个数,令,利用导数可得存在,使得 时 单调递减,当 时单调递增,又,→时,→,结合图象可得当,时,方程有一个解,即方程只有一个解.
试题解析:
(1)∵,
∴,
由题意得在恒成立,
即在恒成立,
设,
则,
∴在上单调递增,在上单调递减,
∴,
∴.
∴实数的取值范围为.
(2)由题意得,
∴,
令,
则,
令,
则,
∴在上单调递减,在上单调递增,
∴,
又,,
∴存在,使得 时, 单调递减;
当 时,,单调递增,
又,→时,→,
∴当,时,方程有一个解,
∴当时,方程只有一个解.
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【题目】《九章算术》中有如下问题:今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长1尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?意思是:今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.若蒲、莞长度相等,则所需时间为()
(结果精确到0.1.参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771.)
A.2.6天B.2.2天C.2.4天D.2.8天
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【题目】如图1,在边长为2的正方形ABCD中,P为CD中点,分别将△PAD, △PBC沿 PA,PB所在直线折叠,使点C与点D重合于点O,如图2.在三棱锥P-OAB中,E为 PB中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥AB;
(II)求直线BP与平面POA所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角P-AO-E的大小.
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【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
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【题目】某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖一次.抽奖方法是:从装有标号为的个红球和标号为的个白球的箱中,随机摸出个球,若摸出的两球号码相同,可获一等奖;若两球颜色不同且号码相邻,可获二等奖,其余情况获三等奖.已知某顾客参与抽奖一次.
(Ⅰ)求该顾客获一等奖的概率;
(Ⅱ)求该顾客获三获奖的概率.
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【题目】某工厂拟建一座平面图为矩形,面积为,高度一定的三段污水处理池(如图),由于受地形限制,其长、宽都不超过,如果池的外壁的建造费单价为元,池中两道隔壁墙(与宽边平行)的建造费单价为元,池底的建造费单价为元.设水池的长为,总造价为.
(1)求的表达式;
(2)水池的长与宽各是多少时,总造价最低,并求出这个最低造价.
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【题目】若直线l1和l2是异面直线,l1α,l2β,α∩β=l,则下列命题正确的是( )
A. l至少与,中的一条相交B. l与,都相交
C. l至多与,中的一条相交D. l与,都不相交
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