Question

【题目】如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时15km的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市75km，且与海岸距离为45km的海上B处有一艘划艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.

（1）划艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？

（2）求划艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角.

（3）若划艇每小时最快行驶11.25km，划艇全速行驶，应沿何种路线行驶才能尽快追上这名运动员，最快需多长时间？

Answer 1

【答案】（1）9；（2）；（3）划艇应垂直于海岸向北的方向行驶才能尽快追上这名运动员；.

【解析】

（1）设速度为，时间为，由余弦定理可得关于时间的函数，根据二次函数的性质得出的最小值；

（2）利用余弦定理计算即可得出答案．

（3）假设划艇沿着垂直于海岸的方向，即方向行驶需要，而运动员刚好到点，即可得出结果.

（1）设划艇以的速度从处出发，沿方向，后与运动员在处相遇，

过作的垂线，则，，

在中，，，，

则，．

由余弦定理，得，

得．

整理得：．

当，即时，取得最小值81，即，

所以划艇至少以9的速度行驶才能把追上这位运动员．

（2）当时，

在中，，，，

由余弦定理，得，

所以，

所以划艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为．

（3）划艇每小时最快行驶11.25km全速行驶，

假设划艇沿着垂直于海岸的方向，即方向行驶，而，

此时到海岸距离最短，需要的时间最少，

所以需要：，而时运动员向东跑了：，

而，即时，划艇和运动员相遇在点.

所以划艇应垂直于海岸向北的方向行驶才能尽快追上这名运动员，最快需要.