Question

【题目】如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切，与圆外切．

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；

（Ⅱ）过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别是，，若直线与轨迹交于，两点，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（Ⅰ）设动圆的半径为，由题动圆与圆内切，与圆外切，则

，由此即可得到动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，进而得到动圆圆心的轨迹的方程；

（Ⅱ）设直线上任意一点的坐标是，切点坐标分别是，

；则经过点的切线斜方程是，同理经过点的切线方程是，又两条切线，相交于 .可得经过两点的直线的方程是，对分类讨论分别求出的值，即可得到的最小值.

（Ⅰ）设动圆的半径为，∵动圆与圆内切，与圆外切，

∴，且.于是，，

所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.从而，，

所以.故动圆圆心的轨迹的方程为．

（Ⅱ）设直线上任意一点的坐标是，切点坐标分别是，

；则经过点的切线斜率，方程是，

经过点的切线方程是，又两条切线，相交于 .

则有，所以经过两点的直线的方程是，

①当时，有，，，，则；

②当时，联立，整理得；

设坐标分别为，，则，

所以，

综上所述，当时，有最小值．