Question

【题目】对任意，都存在，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是______

Answer 1

【答案】

【解析】

令，根据函数单调性可得f（x）∈[﹣1，e2]，然后令g（x）＝ax﹣ex，由x1≠x2，g（x1）＝g（x2），可知y＝mlnm﹣m与y＝g（x）的图象有2个交点，结合函数单调性即可求解．

令，则，

当时，f′（x）＝lnx＜0，∴f（x）单调递减，

当1＜x＜e2，f′（x）＝lnx＞0，∴f（x）单调递增，

∵，故函数f（x）的值域为.

令g（x）＝ax﹣ex，则g′（x）＝a﹣ex，且x1≠x2，g（x1）＝g（x2），

①当a≤0时，g′（x）＝a﹣ex＜0恒成立，∴g（x）在R上单调递减，

与x1≠x2，g（x1）＝g（x2），矛盾

②当a＞0时，当x＞lna时，g′（x）＝a﹣ex＜0，∴函数g（x）单调递减，

当x＜lna时，g′（x）＝a﹣ex＞0，∴函数g（x）单调递增，

∵当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→﹣∞且

g（x）max＝g（lna）＝alna﹣a，

∴当x1≠x2时，若g（x1）＝g（x2）＝mlnm﹣m，

则y＝mlnm与y＝g（x）有2个不同的交点，

∴alna﹣a＞e2＝e2lne2﹣e2，又a＞0

由f(x)的单调性可得a＞e2，

∴实数a的取值范围为：（e2，+∞）．

故答案为：（e2，+∞）