【题目】已知,函数
.
(1)当时,求函数
在
上的最值;
(2)若函数在
上单调递增,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)a≥ .
【解析】
(1) 当a=2时,求得函数的导数,利用导数得出函数的单调性,即可求解函数的最值;
(2)根据函数f(x)在(-1,1)上单调递增,转化为在(-1,1)上恒成立,再利用分离参数,转化为函数的最值问题,即可求解.
(1) 当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex,f′(x)=(-x2+2)ex.
令f′(x)=0,则x=-或x=
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x | 0 | (0, | ( | 2 | |
f′(x) | + | 0 | - | ||
f(x) | f(0)=0 | ↗ | 极大值f( | ↘ | f(2)=0 |
所以,f(x)max= f()=(-2+2
)
,f(x)min= f(0)=0.
(2)因为函数f(x)在(-1,1)上单调递增,所以f′(x)≥0在(-1,1)上恒成立.
又f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex,即[-x2+(a-2)x+a]ex≥0,注意到ex>0,
因此-x2+(a-2)x+a≥0在(-1,1)上恒成立,
也就是a≥=x+1-
在(-1,1)上恒成立.
设y=x+1-,则y′=1+
>0,
即y=x+1-在(-1,1)上单调递增,
则y<1+1-=
,故a≥
.
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【题目】在平面直角坐标系中,圆
:
,
,
,
为平面内一动点,若以线段
为直径的圆与圆
相切.
(1)证明为定值,并写出点
的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线
,直线
过
交
于
,
两点,过
且与
垂直的直线与
交于
,
两点,求四边形
面积的取值范围.
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【题目】已知函数(
,且
).
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求函数在
上的最大值.
【答案】(Ⅰ)的单调增区间为
,单调减区间为
.(Ⅱ)当
时,
;当
时,
.
【解析】【试题分析】(I)利用的二阶导数来研究求得函数
的单调区间.(II) 由(Ⅰ)得
在
上单调递减,在
上单调递增,由此可知
.利用导数和对
分类讨论求得函数在
不同取值时的最大值.
【试题解析】
(Ⅰ),
设
,则
.
∵,
,∴
在
上单调递增,
从而得在
上单调递增,又∵
,
∴当时,
,当
时,
,
因此, 的单调增区间为
,单调减区间为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得在
上单调递减,在
上单调递增,
由此可知.
∵,
,
∴.
设,
则
.
∵当时,
,∴
在
上单调递增.
又∵,∴当
时,
;当
时,
.
①当时,
,即
,这时,
;
②当时,
,即
,这时,
.
综上, 在
上的最大值为:当
时,
;
当时,
.
[点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值. 与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图象与轴的位置关系,进而确定参数的取值范围;或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆
的普通方程为
. 在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ) 写出圆 的参数方程和直线
的直角坐标方程;
( Ⅱ ) 设直线 与
轴和
轴的交点分别为
,
为圆
上的任意一点,求
的取值范围.
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【题目】将一个总体的100个个体编号为0,1,2,…,99,并依次将其分为10个组,组号为0,1,2,…,9.要用系统抽样法抽取一个容量为10的样本,如果在第0组(号码为0—9)随机抽取的号码为2,则抽取的10个号码为______________.
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【题目】为建立健全国家学生体质健康监测评价机制,激励学生积极参加身体锻炼,教育部印发《国家学生体质健康标准(2014年修订)》,要求各学校每学期开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作,并根据学生每个学期总分评定等级.某校决定针对高中学生,每学期进行一次体质健康测试,以下是小明同学六个学期体质健康测试的总分情况.
学期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
总分 | 512 | 518 | 523 | 528 | 534 | 535 |
(1)请根据上表提供的数据,用相关系数说明
与
的线性相关程度,并用最小二乘法求出
关于
的线性回归方程(线性相关系数保留两位小数);
(2)在第六个学期测试中学校根据 《标准》,划定540分以上为优秀等级,已知小明所在的学习小组10个同学有6个被评定为优秀,测试后同学们都知道了自己的总分但不知道别人的总分,小明随机的给小组内4个同学打电话询问对方成绩,优秀的同学有人,求
的分布列和期望.
参考公式: ,
;
相关系数;
参考数据:,
.
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【题目】已知幂函数f(x)=,其中2<m<2,m∈Z,满足:
(1)f(x)是区间(0,+∞)上的增函数;
(2)对任意的x∈R,都有f(x) +f(x)=0.
求同时满足条件(1)、(2)的幂函数f(x)的解析式,并求x∈[0,3]时,f(x)的值域.
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【题目】中心在原点,焦点在轴上的椭圆,下顶点
,且离心率
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)经过点且斜率为
的直线
交椭圆于
,
两点.在
轴上是否存在定点
,使得
恒成立?若存在,求出点
坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】假定小麦基本苗数与成熟期有效穗
之间存在相关关系,今测得5组数据如下:
(1)以为解释变量,
为预报变量,画出散点图
(2)求与
之间的回归方程
(3)当基本苗数为时预报有效穗(注:
,
)
,
,
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