Question

【题目】中心在原点，焦点在轴上的椭圆，下顶点，且离心率.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）经过点且斜率为的直线交椭圆于， 两点.在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在点满足题意.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设椭圆方程为 ，由已知得 ， ，又 可得椭圆的标准方程，
（Ⅱ）假设存在定点P（m，0）满足条件，设， ，直线方程为，由 消去y整理得， ，根据韦达定理及 得 即可求出点坐标．

试题解析：（Ⅰ）设椭圆方程为

由已知得 ， ，又，

则椭圆方程为

（Ⅱ）假设存在，设，设， ，直线方程为，代入椭圆方程，得，

因此， ，

由得，即，

∴

∴

由于对任意恒成立，因此

∴恒成立

∴恒成立

即恒成立，因此

综上，存在点满足题意.