【题目】如图,在三棱柱中,侧棱
底面
,
,
为
的中点,
,四棱锥
的体积为
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)直线与平面
所成的正弦值为
;(3)二面角
的正弦值为
.
【解析】试题分析:(1)连接,设
与
相交于点
,连接
,设法证明
,即可证明
平面
;
(2)作,垂足为
,则
平面
,设
,在
中,
,利用四棱锥
的体积,可求得
,可证
平面
,即
平面
.则以点
为坐标原点,分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴和
轴,建立空间直角坐标系
.求出平面
的一个法向量为
,又
,从而可求直线A1C1与平面BDC1所成角的正弦值;
(3)由(2)可求得平面的一个法向量为
,平面
的一个法向量为
,则可求求二面角
的正弦值
试题解析:(1)证明:连接,设
与
相交于点
,连接
,
∵四边形是平行四边形,∴点
为
的中点.
∵为
的中点,∴
为
的中位线,
∴
∵平面
,
平面
,
∴平面
(2)解:依题意知, ,
∵平面
,
平面
,
∴平面平面
,且平面
平面
.
作,垂足为
,则
平面
,
设,在
中,
,
∴四棱锥体积
,即
.
∵,
,
,
平面
,
平面
,
∴平面
,即
平面
.以点
为坐标原点,分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴和
轴,建立空间直角坐标系
.
则,
,
,
,
.
∴,
.
设平面的法向量为
,
由及
,得
令,得
,
.故平面
的一个法向量为
,
又
.
∴直线与平面
所成的正弦值为
.
(Ⅲ)平面的一个法向量为
,平面
的一个法向量为
∴
∴二面角的正弦值为
.
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【题目】已知数列{an}的前n项和是Sn , 且Sn+ an=1(n∈N+)
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= (1﹣Sn+1)(n∈N+),令Tn=
,求Tn .
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD,侧面PAD是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,M为PC的中点.
(Ⅰ) 求证:PC⊥AD;
(Ⅱ) 在棱PB上是否存在一点Q,使得A,Q,M,D四点共面?若存在,指出点Q的位置并证明;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ) 求点D到平面PAM的距离.
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【题目】中心在原点,焦点在轴上的椭圆,下顶点
,且离心率
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)经过点且斜率为
的直线
交椭圆于
,
两点.在
轴上是否存在定点
,使得
恒成立?若存在,求出点
坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,已知圆O的直径AB长度为4,点D为线段AB上一点,且 ,点C为圆O上一点,且
.点P在圆O所在平面上的正投影为点D,PD=BD.
(1)求证:CD⊥平面PAB;
(2)求点D到平面PBC的距离.
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【题目】已知c>0,且c≠1,设p:函数y=cx在R上单调递减;q:函数f(x)=x2﹣2cx+1在( ,+∞)上为增函数,若“p且q”为假,“p或q”为真,求实数c的取值范围.
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