Question

【题目】如图，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且 ，点C为圆O上一点，且 ．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD．

（1）求证：CD⊥平面PAB；
（2）求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，

∵Rt△ABC中，由 ，∴tan∠ABC= = ，∠ABC=30°，

∵AB=4，3AD=DB，∴DB=3， ，

由余弦定理，得△BCD中，CD2=DB2+BC2﹣2DBBCcos30°=3，

∴CD2+DB2=12=BC2，可得CD⊥AO．

∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，即PD⊥平面ABC，

又∵CD平面ABC，∴PD⊥CD，

∵PD∩AO=D得，∴CD⊥平面PAB

（2）解：由可知，PD=DB=3，且Rt△BCD中， ，

∴ ．

又∵ ， ， ，

∴△PBC为等腰三角形，可得 ．

设点D到平面PBC的距离为d，由VP﹣BDC=VD﹣PBC，得

，解之得

【解析】（1）由AB是圆的直径，得到AC⊥CB，结合BC= AC算出∠ABC=30°，进而得到 ．△BCD中用余弦定理算出CD长，从而CD2+DB2=BC2 ， 可得CD⊥AO．再根据PD⊥平面ABC，得到PD⊥CD，结合线面垂直的判定定理即可证出CD⊥平面PAB；（2）根据（1）中计算的结果，利用锥体体积公式算出 ，而VP﹣BDC=VD﹣PDC ， 由此设点D到平面PBC的距离为d，可得 ，结合△PBC的面积可算出点D到平面PBC的距离．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题．