Question

【题目】已知几何体P﹣ABCD如图，面ABCD为矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分别为AC、BP中点，
（Ⅰ）求证：EF∥面PCD；
（Ⅱ）求直线BP与面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连结BD，
∵四边形ABCD是矩形，E是AC的中点，
∴E是BD的中点．又F是BP的中点，
∴EF∥PD，又EF平面PCD，PD平面PBD，
∴EF∥平面PCD．
（Ⅱ）取AP的中点H，连结HB，HC，过B作BO⊥HC于O，连结OP．
∵面ABCD⊥面PAB，面ABCD∩面PAB=AB，BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，∵AP平面PAB，
∴BC⊥AP，
∵△PAB是等边三角形，∴AP⊥HB，
又BC平面BCH，BH平面BCH，BC∩BH=B，
∴AP⊥平面BCH，又OB平面BCH，
∴AP⊥OB，又OB⊥CH，CH平面PAC，AP平面PAC，CH∩AP=H，
∴OB⊥平面PAC．
∴∠BPO为PB与平面PAC所成的角．
∵AB=2，BC=1，∴BH= ，CH= =2，
∴BO= = ，
∴sin∠BPO= = ．
即直线BP与面PAC所成角的正弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）连结BD，则E为BD的中点，利用中位线定理得出EF∥PD，故而EF∥面PCD；（Ⅱ）取AP的中点H，连结HB，HC，过B作BO⊥HC于O，连结OP．则可证AP⊥平面BCH，于是AP⊥OB，结合OB⊥CH得出OB⊥平面PAC，于是∠BPO为PB与平面PAC所成的角．利用勾股定理计算BH，CH，OB，得出sin∠BPO= ．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能得出正确答案．