Question

【题目】定义在上的函数同时满足以下条件：①在上是减函数，在上是增函数；②是偶函数；③在处的切线与直线垂直.

（1）取函数的解析式；

（2）设，若存在实数，使，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】试题分析：（1）根据在上是减函数，在上增函数，得，

根据是偶数可求出，最后根据在处的切线与直线垂直，建立关系式即可求解函数的解析式；

（2）分类参数，令，则，再设，得到，进而得到函数的单调性和最值，即可求解实数的取值范围.

因为，所以，即在上递减，

试题解析：

（1），因为在上是减函数，在上增函数，

所以，由是偶函数得，

又在处的切线与直线垂直，所以 .

解得，即.

（2）由已知的存在实数，使，

即存在，使，

设，则，

设，则，

因为，所以，即在上递减，

于是，即，即，

所以在上递减，所以，

故的取值范围为.