Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数）.

（1）若，求的单调区间；

（2）若，求的极大值；

（3）若，指出的零点个数.

Answer 1

【答案】（1） 的单调减区间为 ；（2） 的极大值为 （3） 时， 的零点个数为0；当 时， 的零点个数为1.

【解析】试题分析：（1）求导函数，解不等式（或）即可求解；（2）求导后分析导数何时取正，何时取负，当在处左正右负时， 即为所求；（3）分和两种情况讨论，当时易知最小值大于0，故无解，当时，对m分区间讨论即可.

试题解析：（1）时，则，∴. 时， ； 时， ，

∴的单调增区间为， 的单调减区间为.

（2）时， ， ，设.

，∴在上单调递减，在上单调递增，且，

又，∴的极大值为.

（3）当时，∵，∴，此时的零点个数为0.

当时， .

若， ， 无解；

若， ，即，在上，

在上单调递增， 单调递减，且时， ， ，

∴有且仅有一解.

∴当时， 的零点个数为1.

综上可得， 时， 的零点个数为0；当时， 的零点个数为1.