Question

【题目】数列{an}的前n项和为Sn，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称数列{an}为S数列．

（1）S数列的任意一项是否可以写成其某两项的差？请说明理由．

（2）①是否存在等差数列为S数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．

②是否存在正项递增等比数列为S数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）S数列的任意一项都可以写成其某两项的差；证明见详解（2）①存在a1＝kd，k∈Z，k≥﹣1满足题意；②不存在，证明见详解.

【解析】

（1）根据对新数列的定义，利用进行计算证明；

（2）①假设存在等差数列，根据数列的公差进行分类讨论即可；

②用反证法证明，假设存在满足题意的数列，结合数列的单调性，推出矛盾.

（1）∵数列{an}是S数列，

∴对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，

∴n≥2时，，

∴Sn﹣Sn﹣1＝am﹣ap，即an＝am﹣ap，

而n＝1时，S2＝aq，则a1＝aq﹣a2，

故S数列的任意一项都可以写成其某两项的差；

（2）①假设存在等差数列为S数列，设其首项为a1，公差为d，

（i）当d＝0时，若a1≠0，则对任意的正整数n，不

可能存在正整数m，使得Sn＝am，即na1＝a1；

（ii）当d＝0且a1＝0时，显然满足题意；

（iii）当d≠0时，由Sn＝am得，

，

故，

∵，n＝1时显然存在m＝1满足上式，

n＝2时，，

∴，

此时符合题意，

综上，存在a1＝kd，k∈Z，k≥﹣1满足题意；

②假设存在正项递增等比数列为S数列，则a1＞0，q＞0，

∴对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，

∵

，

∴，即，

即am+1＜Sn+1＜am+2，

∵Sn+1∈{an}且{an}单调递增，

显然当n＞logq（q+1）﹣1时，不存在t∈N，使得Sn+1＝at，

这与S数列的定义矛盾．

故不存在正项递增等比数列为S数列．