【题目】2021年我省将实施新高考,新高考“依据统一高考成绩、高中学业水平考试成绩,参考高中学生综合素质评价信息”进行人才选拔。我校2018级高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动,决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研,通过对该商品一个阶段的调研得知,发现该商品每日的销售量(单位:百件)与销售价格
(元/件)近似满足关系式
,其中
为常数
已知销售价格为3元/件时,每日可售出该商品10百件。
(1)求函数的解析式;
(2)若该商品A的成本为2元/件,根据调研结果请你试确定该商品销售价格的值,使该商场每日销售该商品所获得的利润(单位:百元)最大。
【答案】(1);(2)当销售价格为3元/件时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【解析】
(1)由题意将(3,10)代入函数解析式,建立方程,即可求出g(x)的解析式;
(2)商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润,可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数,再用求导数的方法讨论函数的单调性,得出函数的极大值点,从而得出最大值对应的x值.
(1)由题意,102(3-5)2,解得a=2,故g(x)
2(x﹣5)2(2<x<5);
( 2)商场每日销售该商品所获得的利润为y=h(x)=(x﹣2)g(x)=2+2(x﹣5)2(x﹣2)(2<x<5),
y′=4(x-5)(x-2)+ 2(x﹣5)2=2(3x-9)(x﹣5).
列表得x,y,y′的变化情况:
x | (2,3) | 3 | (3,5) |
y' | + | 0 | ﹣ |
y | 单调递增 | 极大值10 | 单调递减 |
由上表可得,x=3是函数h(x)在区间(2,5)内的极大值点,也是最大值点,此时y=10
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,上顶点为
,若直线
的斜率为1,且与椭圆的另一个交点为
,
的周长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线
(直线
的斜率不为1)与椭圆交于
两点,点
在点
的上方,若
,求直线
的斜率.
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【题目】20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:
(1)求频率直方图中a的值;
(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;
(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人,求这2人的成绩都在[60,70)中的概率.
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【题目】已知双曲线
的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于
,
两点.若双曲线
的离心率为
,
的面积为
,
为坐标原点,则抛物线
的焦点坐标为 ( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知函数为偶函数,且函数
的图象的两相邻对称轴间的距离为
.
(1)求的值;
(2)将函数的图象向右平移
个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数
的图象,求函数
的单调递减区间.
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【题目】已知点是椭圆
上任一点,点
到直线
的距离为
,到点
的距离为
,且
.直线
与椭圆
交于不同两点
(
都在
轴上方),且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)当为椭圆与
轴正半轴的交点时,求直线
方程;
(3)对于动直线,是否存在一个定点,无论
如何变化,直线
总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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