Question

【题目】已知点是椭圆上任一点，点到直线的距离为，到点的距离为，且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方），且.

（1）求椭圆的方程；

（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；

（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) （3）直线总经过定点

【解析】试题分析：（1） 设,用坐标表示条件列出方程化简整理可得椭圆的标准方程；（2）由（1）可知， ，即可得，由得，写出直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，由两点式求直线的方程即可；（3）由，得，设直线方程为，与椭圆方程联立得，由根与系数关系计算得，从而得到直线方程为，从而得到直线过定点.

试题解析： （1）设，则， ，………………1分

∴，化简，得，∴椭圆的方程为.………………3分

（2）， ，∴，………………4分

又∵，∴， .

代入解，得（舍）∴，………………6分

，∴.即直线方程为.………………7分

（3）∵，∴.

设，，直线方程为.代直线方程入，得

.………………9分

∴，，∴=

，

∴，……………11分

∴直线方程为，

∴直线总经过定点.………………12分