【题目】设,动圆C经过点
,且被y轴截得的弦长为2p,记动圆圆心C的轨迹为E.
Ⅰ
求轨迹E的方程;
Ⅱ
求证:在轨迹E上存在点A,B,使得
为坐标原点
是以A为直角顶点的等腰直角三角形.
【答案】Ⅰ
,
.
Ⅱ
详见解析。
【解析】
(I)通过被轴截得弦长和经过点
,构造出圆心
满足的方程,整理可得轨迹方程;(II)通过假设
点坐标以及
,可求得直线
的方程,将
方程与轨迹
联立,可表示出
点坐标;从而可表示出
,再通过构造出函数
,通过零点存在定理说明
存在零点,从而得到
存在,从而证得结论。
(I)设动圆圆心,半径为r,
圆C过点
,
,
圆C被y轴截得的弦长为2p,
,
由,得
,化简,得
,
,
轨迹E的方程为
,
.
(II)证明:设,
,则OA的斜率
,
,
的斜率
,
直线AB的方程为
,
联立直线AB与抛物线E的方程,得:
,解得
,
,
,
记,
,
,
,则
,
,
记,
,
由题意,记
,
,
,
,
根据零点存在定理,存在,使得
,从而
,
当满足
时,有
,
此时是以A为直角顶点的等腰直角三角形,
在轨迹E上存在点A,B,使得
为坐标原点
是以A为直角顶点的等腰直角三角形
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点是椭圆
上任一点,点
到直线
的距离为
,到点
的距离为
,且
.直线
与椭圆
交于不同两点
(
都在
轴上方),且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)当为椭圆与
轴正半轴的交点时,求直线
方程;
(3)对于动直线,是否存在一个定点,无论
如何变化,直线
总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某理科考生参加自主招生面试,从7道题中(4道理科题3道文科题)不放回地依次任取3道作答.
(1)求该考生在第一次抽到理科题的条件下,第二次和第三次均抽到文科题的概率;
(2)规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题,该考生答对理科题的概率均为,答对文科题的概率均为
,若每题答对得10分,否则得零分.现该生已抽到三道题(两理一文),求其所得总分
的分布列与数学期望
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆,离心率
,点
在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点是椭圆
上一点,左顶点为
,上顶点为
,直线
与
轴交于点
,直线
与
轴交于点
,求证:
为定值.
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【题目】 已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=,n=
,且m与n的夹角为
.
(1)求角C;
(2)已知c=,S△ABC=
,求a+b的值.
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