Question

【题目】已知椭圆，离心率，点在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点是椭圆上一点，左顶点为，上顶点为，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证： 为定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据椭圆离心率，点在椭圆上，结合性质 ， ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得椭圆的标准方程；（2）设， ， ，则，由三点共线，可得， ，则，结合，消去可得为定值.

试题解析：（1）依题意得，设，则，

由点在椭圆上，有，解得，则，

椭圆C的方程为： .

(2)设， ， ，则，由APM三点共线，则有，即，解得，则，

由BPN三点共线，有，即，解得，

则

=

又点P在椭圆上，满足，有，

代入上式得

=，

可知为定值.