【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,上顶点为
,若直线
的斜率为1,且与椭圆的另一个交点为
,
的周长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线
(直线
的斜率不为1)与椭圆交于
两点,点
在点
的上方,若
,求直线
的斜率.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)由的周长为
,可得
,由直线
的斜率为
可得
,
由直线的斜率
,得
,结合
求出
从而可得椭圆的标准方程;(2)先求出
,由
可得
,直线
的方程为
,则
,联立
,所以
,根据韦达定理列出关于
的方程求解即可.
试题解析:(1)因为的周长为
,所以
,即
,
由直线的斜率
,得
,
因为,所以
,
所以椭圆的标准方程为.
(2)由题意可得直线方程为
,联立得
,解得
,所以
, 因为
,即
,
所以,当直线
的斜率为
时,不符合题意,
故设直线的方程为
,由点
在点
的上方,则
,联立
,所以
,所以
,消去
得
,所以
,得
,
又由画图可知不符合题意,所以
,
故直线的斜率为
.
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式,属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在轴上,还是在
轴上,还是两个坐标轴都有可能;②设方程:根据上述判断设方程
或
;③找关系:根据已知条件,建立关于
、
、
的方程组;④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知是满足下列性质的所有函数
组成的集合:对任何
(其中
为函数
的定义域),均有
成立.
(1)已知函数,
,判断
与集合
的关系,并说明理由;
(2)是否存在实数,使得
,
属于集合
?若存在,求
的取值范围,若不存在,请说明理由;
(3)对于实数、
,用
表示集合
中定义域为区间
的函数的集合.
定义:已知是定义在
上的函数,如果存在常数
,对区间
的任意划分:
,和式
恒成立,则称
为
上的“绝对差有界函数”,其中常数
称为
的“绝对差上界”,
的最小值称为
的“绝对差上确界”,符号
;求证:集合
中的函数
是“绝对差有界函数”,并求
的“绝对差上确界”.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设是实数,已知奇函数
,
(1)求的值;
(2)证明函数在R上是增函数;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0有解,求k的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率为
,过点
的直线与椭圆
相交于
两点,且
的周长为8.
(1)求椭圆的方程;
(2)若经过原点的直线与椭圆
相交于
两点,且
,试判断
是否为定值?若为定值,试求出该定值;否则,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)<ex的解集为( )
A.(﹣2,+∞)
B.(0,+∞)
C.(1,+∞)
D.(4,+∞)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知圆O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是圆O的直径.过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F.
(1)求证:ACBC=ADAE;
(2)若AF=2,CF=2 ,求AE的长.
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