Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过点的直线与椭圆相交于两点，且的周长为8．

（1）求椭圆的方程；

（2）若经过原点的直线与椭圆相交于两点，且，试判断是否为定值？若为定值，试求出该定值；否则，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 椭圆的方程为 (2)见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意知， 的周长，求得的值，进而得到的值，从而求得椭圆的方程；

（2）①当直线在斜率不存在时，把代入椭圆方程，即可求解的值；

②当直线的斜率存在时，设其方程为，联立方程组，求得，利用弦长公式，求解，再根据因为，所以直线的方程为，联立方程组，进而求得则，即可得到结论.

试题解析：

（1）由题意知， 的周长为，所以，

又椭圆的离心率为，所以，

所以，故椭圆的方程为；

（2）①当直线在斜率不存在时，其方程为，代入椭圆方程得，

不妨设，则，

因为，所以直线的方程为，代入椭圆方程得，

不妨设，则，

所以；

②当直线的斜率存在时，设其方程为，

由消去得，

则，

，则，

因为，所以直线的方程为，设，

由消去得，则，

则，

所以，综上所述， 为定值