【题目】如图,有一块矩形空地,要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地,使其四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知且设,绿地面积为.
(1)写出关于的函数关系式,并指出这个函数的定义域.
(2)当为何值时,绿地面积最大?
【答案】(1)∴y=-2x2+(a+2)x,0<x≤2
(2)当时,AE=时,绿地面积取最大值;
当a≥6时,AE=2时,绿地面积取最大值2a-4
【解析】
解:(1)SΔAEH=SΔCFG=x2,SΔBEF=SΔDGH=(a-x)(2-x). ……1分
∴y=SABCD-2SΔAEH-2SΔBEF=2a-x2-(a-x)(2-x)=-2x2+(a+2)x. ……3分
由,得
∴y=-2x2+(a+2)x,其定义域为. ……4分
(2)当,即a<6时,则x=时,y取最大值. ……6分
当≥2,即a≥6时,y=-2x2+(a+2)x,在0,2]上是增函数,则x=2时,y取最大值2a-4 . ……8分
综上所述:当a<6时,AE=时,绿地面积取最大值;当a≥6时,AE=2时,绿地面积取最大值2a-4.
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【题目】某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产100台时,又需可变成本(即另增加投入)0.25 万元.市场对此商品的年需求量为 500台,销售的收入(单位:万元)函数为 R(x)=5x-x2(0≤x≤5),其中 x 是产品生产的数量(单位:百台).
(1)求利润关于产量的函数.
(2)年产量是多少时,企业所得的利润最大?
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【题目】为了调查每天微信用户使用微信的时间,某经销化妆品分微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名,其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如下:
微信控 | 非微信控 | 合计 | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合计 | 56 | 44 | 100 |
(1)根据以上数据,能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关?
(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜各1份,再从抽取的这5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装,记这3人中“微信控”的人数为X,试求X的分布列和数学期望.
参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d
参考数据:
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.321 | 3.840 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】如图,正方形ABCD边长为2,以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F,连结CF并延长交AB于点E.
(1)求证:AE=EB;
(2)求EFFC的值.
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【题目】在三棱锥中, , 为的中点, 平面,垂足落在线段上,已知.
(1)证明: ;
(2)在线段上是否存在一点,使得二面角为直二面角?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,过点的直线与椭圆相交于两点,且的周长为8.
(1)求椭圆的方程;
(2)若经过原点的直线与椭圆相交于两点,且,试判断是否为定值?若为定值,试求出该定值;否则,请说明理由.
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【题目】甲乙两人同时生产内径为的一种零件,为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出 5 件(单位: ) ,
甲:25.44,25.43, 25.41,25.39,25.38
乙:25.41,25.42, 25.41,25.39,25.42.
从生产的零件内径的尺寸看、谁生产的零件质量较高.
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