【题目】在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=2AD,若将△ABD沿直线BD折成△A′BD,使得A′D⊥BC,则直线A′B与平面BCD所成角的正弦值是 .
【答案】
【解析】解:过D作DE⊥BC于E,连结A′E,过A′作A′O⊥DE,连结A′O.
∵BC⊥A′D,BC⊥DE,A′D∩A′O=A′,
∴BC⊥平面A′DE,∵A′O平面A′DE,
∴BC⊥A′O,又A′O⊥DE,BC∩DE=E,
∴A′O⊥平面BCD.
∴∠A′BO为直线A′B与平面BCD所成的角.
在直角梯形ABCD中,过A作AO⊥BD,交BD于M,交DE于O,
设AD=1,则AB=2,∴BD= ,
∴AM= =
,∴DM=
=
.
由△AMD∽△DMO得 ,即
,∴DO=
.
∴A′O= =
.
∴sin∠A′BO= =
.
所以答案是 .
【考点精析】认真审题,首先需要了解空间角的异面直线所成的角(已知为两异面直线,A,C与B,D分别是
上的任意两点,
所成的角为
,则
).
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【题目】为了调查每天微信用户使用微信的时间,某经销化妆品分微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名,其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如下:
微信控 | 非微信控 | 合计 | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合计 | 56 | 44 | 100 |
(1)根据以上数据,能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关?
(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜各1份,再从抽取的这5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装,记这3人中“微信控”的人数为X,试求X的分布列和数学期望.
参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d
参考数据:
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.321 | 3.840 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】在三棱锥中,
,
为
的中点,
平面
,垂足
落在线段
上,已知
.
(1)证明: ;
(2)在线段上是否存在一点
,使得二面角
为直二面角?若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率为
,过点
的直线与椭圆
相交于
两点,且
的周长为8.
(1)求椭圆的方程;
(2)若经过原点的直线与椭圆
相交于
两点,且
,试判断
是否为定值?若为定值,试求出该定值;否则,请说明理由.
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【题目】已知函数,
为偶函数,且当
时,
.记
.给出下列关于函数
的说法:①当
时,
;②函数
为奇函数;③函数
在
上为增函数;④函数
的最小值为
,无最大值. 其中正确的是________.
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【题目】甲乙两人同时生产内径为的一种零件,为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出 5 件(单位:
) ,
甲:25.44,25.43, 25.41,25.39,25.38
乙:25.41,25.42, 25.41,25.39,25.42.
从生产的零件内径的尺寸看、谁生产的零件质量较高.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为矩形,平面
平面
,
,
,
,
为
中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在点
,使得
?若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
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