【题目】已知函数.
(1)当时,求
的单调区间;
(2)若为
的极小值点,求
的取值范围.
【答案】(1)递增区间为,递减区间为
(2)
【解析】
(1)首先求出函数的导函数,记
,则
,分析
的单调性,即可求出函数的单调性;
(2)依题意可得,记
,则
.
再令,则
,利用导数分析
的单调性,即可得到
在
有零点,即
在
单调递减,在
单调递增,所以
,再对
分类讨论可得;
解:(1)当时,
,
记,则
,
当时,
,
,
所以,
在
单调递增,
所以,
因为,所以
在
为增函数;
当时,
,
,所以
,
所以在
为减函数.
综上所述,的递增区间为
,递减区间为
.·
(2)由题意可得,
.
记,则
.
再令,则
.
下面证明在
有零点:
令,则
在
是增函数,所以
.
又,
,
所以存在,
,且当
,
,
,
,
所以,即
在
为减函数,在
为增函数,
又,
,所以
,
根据零点存在性定理,存在,
所以当,
,
又,
,
所以,即
在
单调递减,在
单调递增,
所以.
①当,
,
恒成立,所以
,即
为增函数,
又,所以当
,
,
为减函数,
,
,
为增函数,
是
的极小值点,所以
满足题意.
②当,
,令
,
因为,所以
,
故在
单调递增,故
,即有
故,
又在
单调递增,
由零点存在性定理知,存在唯一实数,
,
当,
,
单调递减,即
递减,
所以,
此时在
为减函数,所以
,不合题意,应舍去.
综上所述,的取值范围是
.
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【题目】盒内有大小相同的9个球,其中2个红色球,3个白色球,4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得-1分 . 现从盒内任取3个球
(Ⅰ)求取出的3个球中至少有一个红球的概率;
(Ⅱ)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率;
(Ⅲ)设为取出的3个球中白色球的个数,求
的分布列.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点
,
,
是椭圆
上的动点,且
面积的最大值为
.
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)若是椭圆
的左、右顶点,直线
与椭圆在点
处的切线交于点
,当点
在椭圆上运动时,求证:以
为直径的圆与直线
恒相切.
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【题目】(本小题满分13分)某县一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.先库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨,在此基础上生产这两种混合肥料.若生产1车皮甲种肥料产生的利润为10000元;生产1车皮乙种肥料产生的利润为5000元.那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能产生最大的利润?
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【题目】如图,为坐标原点,椭圆
的左,右焦点分别为
,离心率为
,双曲线
的左,右焦点分别为
,
,离心率为
,已知
,
.
(1)求,
的方程;
(2)过作
的不垂直于
轴的弦
,
为弦
的中点,当直线
与
交于
,
两点时,求四边形
面积的最小值.
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【题目】车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件,对之前加工的100个零件的加工时间进行统计,结果如下:
加工1个零件用时 | 20 | 25 | 30 | 35 |
频数(个) | 15 | 30 | 40 | 15 |
以加工这100个零件用时的频率代替概率.
(1)求的分布列与数学期望
;
(2)刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座,用时40分钟,另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.
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【题目】在平面直角坐标系,
.以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
,点
为
上的动点,
为
的中点.
(1)请求出点轨迹
的直角坐标方程;
(2)设点的极坐标为
若直线
经过点
且与曲线
交于点
,弦
的中点为
,求
的取值范围.
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【题目】十二生肖是十二地支的形象化代表,即子(鼠)、丑(牛)、寅(虎)、卯(兔)、辰(龙)、巳(蛇)、午(马)、未(羊)、申(猴)、酉(鸡)、戌(狗)、亥(猪),每一个人的出生年份对应了十二种动物中的一种,即自己的属相.现有印着六种不同生肖图案(包含马、羊)的毛绒娃娃各一个,小张同学的属相为马,小李同学的属相为羊,现在这两位同学从这六个毛绒娃娃中各随机取一个(不放回),则这两位同学都拿到自己属相的毛绒娃娃的概率是( )
A.B.
C.
D.
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