Question

【题目】在平面直角坐标系，．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，点为上的动点，为的中点．

（1）请求出点轨迹的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为若直线经过点且与曲线交于点，弦的中点为，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】

(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，可得点满足．利用相关点法即可得出点轨迹的直角坐标方程；

(2)根据已知条件求出直线的参数方程，把直线的参数方程代入，利用根与系数关系求出，由直线的参数方程中的几何意义可将用表示，再将代入即可求出的取值范围．

(1)因为的直角坐标方程为，

所以点满足．

设，因为为的中点，

所以，，所以，，

所以，

整理得的轨迹方程为．

(2)因为直线过点，

所以直线的参数方程为(为参数，为倾斜角，)

代入得，所以，，

所以．