Question

16．已知cos（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{3}{5}$，且$\frac{7}{12}$π＜α＜$\frac{7}{4}$π，求$\frac{sin2α（1+tanα）}{1-tanα}$的值．

Answer 1

分析 由已知得sin（$\frac{π}{4}+α$）=-$\frac{4}{5}$，从而sinα+cosα=-$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，由cos（$\frac{π}{4}+α$）=$\frac{3}{5}$，得cosα-sinα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，由此得到cos$α=-\frac{\sqrt{2}}{10}$，sin$α=-\frac{7\sqrt{2}}{10}$，进而能求出$\frac{sin2α（1+tanα）}{1-tanα}$的值．

解答 解：∵$\frac{7}{12}$π＜α＜$\frac{7}{4}$π，∴$\frac{5π}{3}＜\frac{π}{4}+α＜2π$，
∵cos（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{3}{5}$，∴sin（$\frac{π}{4}+α$）=-$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=-$\frac{4}{5}$，
∴sin（$\frac{π}{4}$+α）=sinαcos$\frac{π}{4}$+cosαsin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα+sinα）=-$\frac{4}{5}$，
∴sinα+cosα=-$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，①
cos（$\frac{π}{4}+α$）=cos$\frac{π}{4}$cos$α-sin\frac{π}{4}sinα$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（cosα-cosβ）$=$\frac{3}{5}$，
∴cosα-sinα=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，②
联立①②，得cos$α=-\frac{\sqrt{2}}{10}$，sin$α=-\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴sin2α=2sinαcosα=2×$（-\frac{\sqrt{2}}{10}）×（-\frac{7\sqrt{2}}{10}）$=$\frac{7}{25}$，
tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{-\frac{7\sqrt{2}}{10}}{-\frac{\sqrt{2}}{10}}$=7，
∴$\frac{sin2α（1+tanα）}{1-tanα}$=$\frac{\frac{7}{25}（1+7）}{1-7}$=-$\frac{28}{75}$．

点评 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数诱导公式、加法定理和同角三角函数关系式的合理运用．