Question

如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M（3，1）．平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），且交椭圆于A，B两不同点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；

Answer 1

分析：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由

a=3b 9 a2 + 1 b2 =1

得

a2=18 b2=2

，由此能够得到所求椭圆的方程．
（2）由题意可设直线l方程为：y=

1

3

x+m，由

y= 1 3 x+m x2 18 + y2 2 =1

整理得2x²+6mx+9m²-18=0，然后由根的判别式能够推导出m的取值范围．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），

a=3b 9 a2 + 1 b2 =1

⇒

a2=18 b2=2

，所求椭圆的方程为

x2

18

+

y2

2

=1
（2）∵直线l∥OM且在y轴上的截距为m，
∴直线l方程为：y=

1

3

x+m
由

y= 1 3 x+m x2 18 + y2 2 =1

⇒2x²+6mx+9m²-18=0
∵直线l交椭圆于A、B两点，
∴△=（6m）²-4×2（9m²-18）＞0⇒-2＜m＜2
m的取值范围为-2＜m＜2，且m≠0．

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系和基本应用，解题时要认真审题，仔细运算，避免不必要错误的发生．